Materi Bilangan Bulat

Adik-adik berikut ringkasan materi Matematika (Bilangan Bulat) yang bisa kalian pelajari... semoga materi ini bermanfaat...


1. Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari
- bilangan asli : 1, 2, 3, ...
- bilangan nol : 0
- bilangan negatif : ..., -3, -2, -1
Bilangan Bulat dinotasikan dengan : B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
a. Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
b. Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
c. Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
d. Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
e. Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}


2. Membandingkan Bilangan Bulat
Dengan memperhatikan tempat pada garis bilangan, dapat kita nyatakan (dalam contoh) bahwa :
a. 7 > 4, karena 7 terletak di sebelah kanan 4,
b. (-5) < 2, karena (-5) terletak di sebelah kiri 2, dan lain sebagainya.


3. Penjumlahan dan Sifatnya
Salah satu Rumus penting :

Contoh : 7 + (-10) = 7 - 10 = -3
Sifat-sifatnya :
a. Komutatif :

b. Asosiatif :

c. Tertutup :

d. Memiliki identitas :

e. Invers penjumlahan :


4. Pengurangan
Pengurangan merupakan lawan (invers) dari penjumlahan.
Rumus :

Contoh : 8 - (-2) = 8 + 2 = 10


5. Perkalian dan Sifatnya
contoh :
3 x (-2) = (-2) + (-2) + (-2)

Sifat-sifat :



6. Pembagian
Pembagian adalah kebalikan (invers) dari perkalian.
Rumus :



7. Perpangkatan dan Sifat



8. Akar Pangkat Dua dan Akar Pangkat Tiga

Kumpulan Materi Matematika SMP/MTs

Bagi adik-adik dan juga para pendidik tingkat sekolah menengah pertama yang ingin mencari materi pelajaran/bahan ajar untuk matematika tingkat SMP baik kelas 7, 8 dan 9 bisa langsung ambil. Caranya gampang, tinggal klik aja materi matematika yang kalian inginkan. Dan berikut ini materi-materi matematika SMP yang bisa kalian download :

KELAS 7

1. Bilangan Bulat
2. Bilangan Pecahan
3. Bentuk Aljabar dan Operasinya
4. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
5. Perbandingan
6. Himpunan
7. Garis dan Sudut
8. Segiempat
9. Segitiga

KELAS 8

1. Faktorisasi Suku Aljabar
2. Fungsi
3. Persamaan Garis Lurus
4. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
5. Teorema Pythagoras
6. Lingkaran
7. Bangun Ruang Sisi Tegak

KELAS 9

1. Kesebangunan dan Kekongruenan
2. Bangun Ruang Sisi Lengkung
3. Statistika
4. Peluang
5. Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
6. Barisan dan Deret

Selamat mendownload yaa, jangan lupa dibaca lho dan semoga bermanfaat..!!

Sumber : wiwik82.blogspot.com

Cara Cepat Mengkuadratkan Bilangan Puluhan Berakhiran Angka 5 (1 detik)

Cara Cepat Mengkuadratkan Bilangan Puluhan Berakhiran Angka 5.
Sering kali kita terlalu berlebihan saat mengerjakan soal. Khususnya pada soal pengkuadratan. Bisa-bisa kita menghabiskan 1/4 menit untuk ini. Soalnya bilangan yang dipangkatkan itu akan berujung pada perkalian dan pertambahan. kali ini kita akan membahas jurus cepat memangkatkan bilangan puluhan yang berakhiran dengan angka 5 dalam satu detik. Betul, Anda dapat melakukannya hanya dalam satu detik! Dan berita baiknya adalah, memang jurus kali ini terlampau gampang sekali.

Baik, ini dia.

45² = …..
= 45 x 45 = ….
Pertama, kita lihat angka terdepan dari bilangan puluhan tersebut. Pada soal kita, angka tersebut adalah 4.

Kemudian, kita kalikan angka tersebut dengan angka itu sendiri ditambah 1. Pada soal kita, jadinya 4 x 5 = 20.

Lalu, kita kalikan angka terbelakang dari bilangan puluhan tersebut dengan angka itu sendiri. Pada soal kita, jadinya 5 x 5 = 25.

Terakhir, kita jejerkan dua hasil perkalian baru kita yang barusan. Yakni 20 dan 25 menjadi 2025. Oke, itu dia.

Sekarang mari kita bahas lebih ringkas lagi.
65² = ….
6 x 7 = 42
5 x 5 = 25
65² = 65 x 65 = 4225.
Cukup mudah bukan? Iya. Jadi disini kita telah sampai pada suatu pemahaman bahwa pengkuadratan bilangan puluhan yang berakhiran 5 itu pasti menghasilkan sebuah bilangan yang dua angka terakhirnya adalah 25.

Jadi, bila Anda melihat sebuah bilangan puluhan yang berakhiran angka 5 hendak dikuadratkan, Anda hanya perlu mengalikan angka di depan 5 tersebut dengan angka tersebut ditambah 1. Dengan begini, Anda akan benar-benar bisa mengerjakannya dalam satu detik.

Misal, Anda melihat sebuah soal 45²
Lansung bayangkan 4 x (4 + 1) = 20
Dan pastinya angka dibelakangnya adalah 25
So, hasil akhirnya adalah 2025

Lagi, kalau 65²
Langsung saja 6 x 7 = 42
Letak 25 dibelakanganya
Jadialah 4225
Kalau 85², 8 x 9 = 72
85² = 7225
95² = 9025

Sudah tahu kan? Sekedar pengingat untuk mempermudah
Bila angka depan yang Anda kalikan dengan angka depan itu sendiri ditambah satu hasilnya merupakan bilangan satuan, ingatlah untuk menambahkan angka 0 di depannya. Misal, 25² = 2 x 3 = 6
Maka, tulis 06

Begitulah. Oke, sekarang saatnya berlatih. Kerjakanlah soal-soal berikut dengan jurus ini.
(5²)² = …
(3 x 5)² = …
35² = …
(9 x 5)² = …
55² =
65² = …
(100 – (5²))² = …
8,5² = …
9,5² = …
0,95² = …
Baiklah, cukup sekian dulu. Silahkan gunakanlah trik ini, sharelah kepada yang lainnya, semoga bermanfaat....

Menentukan Akar Kuadrat

Yudis diminta oleh gurunya untuk membuat poster tentang lingkungan. Poster tersebut haruslah berbentuk persegi dengan luas maksimum 46.656 mm². Akan tetapi Yudis bingung untuk membuat poster tersebut, karena dia kurang mengerti persegi yang luasnya 46.656 mm² tersebut memiliki panjang sisi berapa. Dapatkah kamu membantu permasalahan Yudis tersebut?

Seperti kita ketahui, luas persegi sama dengan kuadrat dari panjang sisinya. Apabila luas persegi diketahui, dapatkah kalian menentukan panjang sisinya? Panjang sisi persegi dapat ditentukan dengan menggunakan operasi kebalikan dari kuadrat, yaitu akar kuadrat.
Untuk menentukan panjang sisi dari persegi yang luasnya 46.656 mm², kamu harus menentukan akar kuadrat dari 46.656, yaitu √(46.656). Bagaimana cara menentukan akar kuadrat dari 46.656? Berikut ini akan dibahas mengenai bagaimana cara menentukan akar kuadrat dari 46.656 dengan cara bersusun dan faktorisasi prima.
Menentukan Akar Kuadrat dengan Cara Bersusun
Untuk menentukan akar kuadrat dengan cara bersusun, perhatikan ilustrasi berikut!

1. Kelompokkan bilangan 46.656 dua angka dari belakang dengan menggunakan garis ataupun titik, sehingga akan terbentuk 4 | 66 | 56. Cari taksiran rendah untuk √4, yaitu kelompok angka paling depan. Taksiran rendah dari √4 = 2. Tulis 2 × 2 di sebelah kiri dan tulis juga hasilnya di bawah 4.
2. Kurangkan 4 dengan 4, tulis hasilnya di bawah. Turunkan dua angka selanjutnya. Jumlahkan angka sebelah kiri, yaitu 2 + 2 = 4. Selanjuntya carilah angka yang sama sehingga hasil 4_ × _ merupakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan 66. Diperoleh bilangan tersebut adalah 1, sehingga 41 × 1 = 41. Kurangkan 66 dengan 41, tulis hasilnya, yaitu 25, di bawah.
3. Turunkan 2 angka selanjutnya. Jumlahkan angka sebelah kiri kedua, yaitu 41 + 1 = 42. Tulis hasilnya di bawah. Carilah angka yang sama sehingga 42_ × _ merupakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan 2.556. Diperoleh bilangan tersebut adalah 6, sehingga 426 × 6 = 2.556. Kurangkan 2.556 dengan 2.556, kemudian tulis hasilnya di bawah. Akar dari 46.656 merupakan bilangan yang terdiri dari angka-angka yang berwarna orange. Sehingga, √46.656 = 216.

Setelah mengetahui cara menentukan akar kuadrat dengan cara bersusun, sekarang perhatikan cara lainnya berikut.
Menentukan Akar Kuadrat dengan Faktorisasi Prima
Untuk menentukan akar kuadrat dari 46.656, ubahlah bilangan tersebut ke dalam bentuk perkalian faktor-faktor primanya. Untuk membantu, kamu dapat menggunakan pohon faktor atau cara sengkedan.

Sehingga diperoleh, 46.656 = 2⁶ × 3⁶ = (2³ × 3³)² = 216². Oleh karena itu, √46.656 = 216. Semoga bermanfaat

sumber : http://yos3prens.wordpress.com

Pencerminan (Materi Matematika)

Bercermin merupakan kegiatan yang setiap hari kamu lakukan. Setiap kali kamu bercermin, apa yang dapat kamu nyatakan mengenai banyanganmu? Apakah bayangan tersebut memiliki bentuk yang sama dengan kamu? Apakah setiap kali kamu mendekat ke cermin, bayanganmu juga ikut mendekat ke cermin? Bagaimana dengan posisi menghadap bayangan, apakah tangan kananmu menjadi tangan kiri dari bayangan? Berikut ini ilustrasi orang yang sedang bercermin.

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari sifat-sifat pencerminan bangun datar. Dari ilustrasi di atas, kita dapat memperoleh sifat-sifat pencerminan sebagai berikut:

1. Objek dan bayangannya selalu sama.
2. Jarak setiap titik pada objek dan cermin sama dengan jarak setiap titik pada bayangan dan cermin, s = s’.
3. Tinggi objek sama dengan tinggi bayangannya, h = h’.
4. Garis yang menghubungkan titik pada objek dengan titik pada bayangannya selalu tegak lurus dengan cermin.

Selanjutnya, perhatikan contoh pencerminan bangun datar berikut!

Sesuai dengan sifat pencerminan, kita dapat memperoleh hal-hal sebagai berikut:

1. Segitiga ABC kongruen dengan segitiga A’B’C’, akibat dari pernyataan ini, luas segitiga ABC sama dengan luas segitiga A’B’C’.
2. CP = C’P, AQ = A’Q, dan BR = B’R. Atau dengan kata lain, jarak titik sudut segitiga ABC ke cermin sama dengan jarak titik sudut A’B’C’ ke cermin.
3. Tinggi segitiga ABC sama dengan tinggi segitiga A’B’C’.
4. Ruas garis AA’, BB’, dan CC’ semuanya tegak lurus dengan cermin, yaitu garis PR.

Melukis Bayangan Hasil Pencerminan Suatu Bangun Datar
Selanjutnya mari kita berlatih untuk melukis bayangan dari bangun datar tertentu. Tentunya, kita harus menggunakan sifat-sifat dari pencerminan untuk melukis bayangan tersebut.
Diberikan suatu belah ketupat PQRS seperti gambar di bawah. Tentukan bayangan dari belah ketupat tersebut apabila dicerminkan terhadap garis a!

Perhatikan bahwa grid horizontal yang ada tegak lurus dengan garis a. Bayangan titik P, yaitu P’, tentunya segaris dengan titik P. Jarak titik P ke garis a adalah 11 satuan ke kiri. Akibatnya jarak titik P’ dengan cermin adalah 11 satuan ke kanan. Hal ini juga berlaku untuk titik-titik Q’, R’, dan S’ yang secara berturut-turut merupakan bayangan dari titik-titik Q, R, dan S. Titik Q’ akan segaris dengan titik Q dan berjarak 2 satuan ke kanan. Titik R’ akan segaris dengan titik R dan berjarak 4 satuan ke kanan. Sedangkan titik S’ akan segaris dengan S dan berjarak 13 satuan ke kanan.
Setelah ketemu posisi dari titik-titik P’, Q’, R’ dan S’, hubungkan keempat titik tersebut dengan ruas garis sehingga akan terbentuk belah ketupat P’Q’R’S’ yang merupakan bayangan dari belah ketupat PQRS. Berikut ini gambar dari belah ketupat PQRS dan bayangannya.

Selain dengan cara di atas, kita juga dapat melukis bayangan dari suatu objek dengan menggunakan simetri lipat. Garis pencerminan akan menjadi sumbu simetri jika kita menggunakan cara tersebut.
Berikut ini ilustrasi untuk melukis bayangan dari suatu objek dengan menggunakan simetri lipat.

Langkah pertama, kamu harus melukis objek yang akan ditentukan bayangannya dan garis pencerminannya pada kertas. Setelah itu, lipatlah kertas tersebut menurut garis pencerminannya. Jiplaklah objek pada sisi kertas yang lainnya. Terakhir, buka kembali kertas tersebut. Hasil jiplakan tersebut merupakan bayangan dari objek yang dimaksud.
Bagaimana? Apakah kamu sudah memahami penjelasan mengenai pencerminan bangun datar di atas? Apabila sudah paham, kamu dapat mengerjakan soal pemecahan masalah berikut.
Pemecahan Masalah
Mulan adalah seorang gadis kelas IV yang memiliki tinggi 120 cm. Ia biasanya bercermin dengan jarak 80 cm di depan cermin. Ia akan berencana pergi ke tukang cermin untuk memesan sebuah cermin. Ia akan memesan sebuah cermin dengan tinggi minimal, akan tetapi apabila dia bercermin, dia akan tetap melihat keseluruhan badannya, dari ujung kaki sampai ujung kepala. Bantulah Mulan untuk menghitung panjang cermin yang akan ia pesan tersebut! Bantulah juga di mana ia akan meletakkan cermin tersebut apabila cermin tersebut sudah jadi nantinya! (Anggap posisi mata Mulan berada 9 cm di bawah bagian teratas tubuhnya)

Semoga bermanfaat....

Trik Perkalian Cepat

Sering kali kita dihadapkan  padasebuah situasi dimana kita menghabiskan menit-menit kita hanya karena soal perkalian bilangan besar yang seharusnya bisa kita kerjakan di kalkulator dalam hitungan detik. Seperti menghitung 14 x 16 saja sudah bisa memangkas 10 detik kita. Padahal, 1 detik itu pun sangat menentukan ketika kita sedang menghadapi soal CPNS, SNMPTN, dan sebagainya. Nah, kali ini, kita akan membahas sebuah paradigma sederhana. Dimana dengan paradigma sederhana ini, bermacam-macam perkalian dengan angka besar dapat kita selesaikan sesegera mungkin!

Misal, Anda bertemu dengan sebuah soal 48 x 17 = …. Tidak sedikit orang yang masih menggunakan paradigma lama dengan cara mengalikannya ke bawah seperti yang mereka pelajari ketika kelas 2 SD. Nah, mari kita pelajari paradigma barunya. Singkatnya begini, kita membagi 2 dan mengalikan 2 pada soal kita.

Begini:
Soal kita adalah 48 x 17 = ….
Pada soal tersebut, ada 2 buah bilangan, yakni 48 dan 17.
Kita pilih salah satu bilanan untuk dibagi dengan angka 2 dan satu angka lainnya dikali dengan angka 2
Contohnya, 48 : 2 = 24, 17 x 2 = 34. Sehingga 48 x 17 = 24 x 34

Karena sebetulnya bagi dua dengan dua itu sama dengan 2/2, yakni dikali 1
Jadi hasilnya tetap.
Namun, apabila bentuk baru perkalian yang kita dapatkan masih juga sulit untuk dikerjakan, teruslah kita sederhanakan lagi.
24 x 34 = 12 x 68
12 x 68 = 6 x 136
6 x 136 = 3 x 272 = …. Nah, akhirnya kita dapat perkalian yang mudah. Baiklah, langsung kita kerjakan.
3 x 272 = 816. Selesai.
Sekarang kita coba soal lain, kita ambil satu perkalian yang kita temukan di awal pembicaraan tadi.
Yaitu, 14 x 16 = ….
14 x 16 = 28 x 8
28 x 8 = 56 x 4
56 x 4 = 112 x 2
112 x 2 = 224
Selesai.
Sekarang Anda sudah mengerti kan?
Memang, sebetulnya lebih mudah menghitung 6 x 30 daripada 12 x 15. Juga lebih mudah menghitung 122 x 2 daripada 14 x 16.
Rasanya jurus ini begitu sederhana, namun ketahuilah, sepanjang pengalaman saya dalam menyelesaikan soal hitung-hitungan maupun perhitungan dalam persoalan kehidupan sehari-hari, jurus ini membuat saya lebih cepat selesai dibandingkan dengan orang-orang di sekitar saya yang belum pernah tahu jurus ini. Saya sangat menyarankan Anda untuk segera mencobanya.

Oke, sekarang saatnya berlatih.

Kerjakanlah soal-soal berikut dengan jurus ini.
24 x 28 = …
24 x 18 = …
94 x 12 = …
62 x 34 = …
284 x 40 = …
1000 x 10 = …
500 x 500 = …
78 x 54 = …
7,4 x 5,8 = …
3,14 x 2 x 3,14 = …

Baiklah, cukup sekian dulu.

Semoga bermanfaat.....

Sifat-Sifat Layang-layang

Layang-layang adalah bangun datar segiempat yang memiliki 2 pasang berbeda sisi berdekatan yang sama panjang. Apabila kita melukis dua segitiga sama kaki berbeda yang memiliki sisi alas di ruas garis yang sama dan menghapus alas tersebut, kita memperoleh bangun datar layang-layang. Pada segitiga sama kaki, sudut puncak adalah sudut yang diapit oleh dua sisi yang kongruen. Begitu juga pada layang-layang, dua sudut yang diapit oleh masing-masing pasangan dua sisi yang kongruen disebut juga dengan sudut puncak. Sedangkan dua sudut lainnya merupakan bukan sudut puncak.

Layang-layang juga memiliki satu sumbu simetri, sama seperti segitiga sama kaki. Kita dapat menggunakan sifat ini untuk menyelidiki sifat-sifat layang-layang lainnya.
Investigasi: Apa Sajakah Sifat-sifat dari Layang-layang?
Pada penyelidikan ini kita akan melihat sudut-sudut dan diagonal-diagonal yang dimiliki oleh layang-layang untuk menemukan sifat-sifatnya.
Langkah 1: Buatlah dua ruas garis tidak kongruen yang saling berhubungan pada kertas. Kemudian lipatlah kertas menurut kedua ujung dari ruas garis tersebut. Selanjutnya blatlah kedua ruas garis tersebut pada sisi kertas yang lainnya.
Langkah 2: Bandingkanlah besar sudut dari masing-masing pasangan sudut yang berhadapan dengan melipat kertas sehingga sudut-sudut yang berhadapan bisa saling berimpit. Apakah sudut-sudut puncaknya kongruen? Apakah sudut-sudut selain sudut puncak kongruen?

Sifat Sudut Layang-layang

Sudut-sudut selain sudut puncak dari layang-layang merupakan sudut-sudut yang kongruen.

Langkah 3: Lukislah diagonal-diagonal dari layang-layang. Bagaimanakah hubungan antara diagonal-diagonal tersebut?

Sifat Diagonal-diagonal Layang-layang

Diagonal-diagonal layang-layang saling tegak lurus.

Adakah sifat lain dari diagonal layang-layang?
Langkah 4: Bandingkanlah panjang segmen dari masing-masing diagonal. Apakah diagonal tersebut membagi diagonal lainnya menjadi 2 bagian yang sama panjang?

Sifat Diagonal sebagai Garis Berat

Diagonal yang menghubungkan sudut-sudut puncak membagi diagonal lainnya menjadi 2 bagian yang sama panjang.

Langkah 5: Lipatlah kertas menurut diagonal-diagonalnya. Apakah diagonal-diagonal tersebut membagi 2 sama besar sudut-sudut yang dihubungkannya?

Sifat Diagonal sebagai Garis Bagi

Diagonal yang menghubungkan sudut-sudut puncak membagi sudut-sudut puncak menjadi 2 bagian yang sama besar.

Contoh Soal..


Semoga bermanfaat....